416. 分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11]

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

算法思路：

用回溯算法，首先求数组的总和，如果不是偶数或者数组长度为 1 则无法成功分割；对于数组中的每个元素，考虑选与不选两种情况，进行递归。递归方法的参数有：idx（待考虑元素的下标），sum（已经选出来的总和），target（目标和，在此题目中则为总和一半）以及该数组和长度。
递归出口：

• 如果 sum 等于 target，说明成功，直接返回 true
• 如果 sum 大于 target，说明失败，直接返回 false
• 如果 idx 大于等于 n，说明已考虑到最后一个仍未成功，直接返回 false
• 否则，则考虑选和不选

优化： 通过定义一个二维数组表示备忘录，减少重复考虑，mem[i][j] 表示对于第 i 个数且已选出来的总和为 j ，是否已经考虑过了（用 1 表示已经考虑过了【是不成功的】，为 1 则 直接返回 false）

代码实现：

public class Q0416PartitionEqualSubsetSum {
    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Q0416PartitionEqualSubsetSum().new Solution();
        int[] nums = {100, 100, 100, 99, 97};
        System.out.println(solution.canPartition(nums));
    }

    class Solution {
        public boolean canPartition(int[] nums) {
            int len = nums.length;
            int sum = Arrays.stream(nums).sum();
            if (sum % 2 != 0 || len <= 1) return false;
            return dfs(0, 0, sum / 2, nums, len);
        }

        // 备忘录
        int[][] mem = new int[201][20001];
    
        // 变量：idx sum path
        // 不变量：target  nums  n
        public boolean dfs(int idx, int sum, int target, int[] nums, int n) {
            if (sum >= target) return sum == target;
            // 已经选过了，并且是失败的直接返回 false
            if (mem[idx][sum] != 0) return false; 
            if (idx >= n) return false;
            boolean p;
            // 不选
            p = dfs(idx + 1, sum, target, nums, n);
            // 选
            p = p || dfs(idx + 1, sum + nums[idx], target, nums, n);
            mem[idx][sum] = 1;
            return p;
        }
    }
}

用动态规划：

这道题可以转化为一个0-1背包问题。

二维DP

转移方程就是 dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int sum = Arrays.stream(nums).sum();
        if (sum % 2 != 0 || len <= 1) return false;
        return dpMethod(sum / 2, nums, len);
    }

    public boolean dpMethod(int target, int[] nums, int n) {
        // 01背包, dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为 j 的背包，最大的价值总和
        // target 相当于背包最大容量
        boolean[][] dp = new boolean[n + 1][target + 1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            // 容量为 0 说明不用再分隔，为 true
            dp[i][0] = true;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 物品
            for (int j = 1; j <= target; j++) { // 容量
                // 不选
                if (j < nums[i - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    // 选
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
                }
            }
        }
        return dp[n][target];
    }
}

一维DP

转移方程就是 dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int sum = Arrays.stream(nums).sum();
        if (sum % 2 != 0 || len <= 1) return false;
        return dpMethod2(sum / 2, nums, len);
    }

    // 一维 dp
    public boolean dpMethod2(int target, int[] nums, int n) {
        boolean[] dp = new boolean[target + 1];
        dp[0] = true;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 必须逆序，防止重复选
            for (int j = target; j >= 1; j--) {
                if (j >= nums[i]) {
                    dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}